利息基本概念

为了更好的讨论利息度量,因此引入积累函数概念:用$a(t)$表示0时刻的本金1经过t年的连续积累得到的积累值,并称定义在区间$[0,\infty )$或非负整数集合上的函数$a(t)$为积累函数,由定义可知$a(0)=1$，一般情况下,本金金额不是一个单位,定义一个总量函数$A(t)$,它是本金为k的投资在时刻$t\ge 0$时的积累值,显然有$A(t)=k\cdot a(t)$,称积累函数$a(t)$的倒数a−1(t)a^{-1}(t)a−1(t)为t期折现因子或折现函数,把一期折现因子a−1(1)a^{-1}(1)a−1(1)简称为折现因子,并记为$\nu$

实际利率

某一度量期的实际利率,是指该度量期内得到的利息金额与此度量期开始时投资的本金金额之比,通常实际利率用字母$i$来表示
对于有多个度量期的情形可以分别定义各个度量期的实际利率,用ini_nin​表示从投资日算起第n个度量期的实际利率,则in=A(n)−A(n−1)A(n−1)=InAn−1i_n=frac{A(n)-A(n-1)}{A(n-1)}=frac{I_n}{A_{n-1}}in​=A(n−1)A(n)−A(n−1)​=An−1​In​​ ($n\ge 1$为整数)

单利、复利

考虑1单位本金:
(1)如果t时的积累值为:
$a(t)=1+i\cdot t$
那么,该笔投资为以每期单利$i$计息的投资
(2)如果t时的积累值为:a(t)=(1+i)ta(t)=(1+i)^ta(t)=(1+i)t
那么,该笔投资为以每期复利$i$计息的投资

对于整数$n\ge 1$,第n期的实际利率为:
in=a(n)−a(n−1)a(n−1)i_n=frac{a(n)-a(n-1)}{a(n-1)}in​=a(n−1)a(n)−a(n−1)​
=(1+in)−[1+i(n−1)]1+i(n−1)=i1+i(n−1)=frac{(1+in)-[1+i(n-1)]}{1+i(n-1)}=frac{i}{1+i(n-1)}=1+i(n−1)(1+in)−[1+i(n−1)]​=1+i(n−1)i​
因此,ini_nin​是关于n的单调递减函数
In=a(n)−a(n−1)=(1+i)n−(1+i)n−1=i⋅(1+i)n−1=i⋅a(n−1)I_n=a(n)-a(n-1)=(1+i)^n-(1+i)^{n-1}=i cdot (1+i)^{n-1}=i cdot a(n-1)In​=a(n)−a(n−1)=(1+i)n−(1+i)n−1=i⋅(1+i)n−1=i⋅a(n−1)
对于每期的实际利率有:
in=Ina(n−1)=ii_n=frac{I_n}{a(n-1)}=iin​=a(n−1)In​​=i

实际贴现率

一个度量期的实际贴现率为该度量期内取得的利息金额与期末的投资可回收金额之比,通常以字母$d$来表示实际贴现率
ν=a−1(1)=1−dnu =a^{-1}(1)=1-dν=a−1(1)=1−d
d=1−(1−d)=1−a−1(1)=a(1)−1a(1)=a(1)−a(0)a(1)=A(1)−A(0)A(1)=I1A(1)d=1-(1-d)=1-a^{-1}(1)=frac{a(1)-1}{a(1)}=frac{a(1)-a(0)}{a(1)}=frac{A(1)-A(0)}{A(1)}=frac{I_1}{A(1)}d=1−(1−d)=1−a−1(1)=a(1)a(1)−1​=a(1)a(1)−a(0)​=A(1)A(1)−A(0)​=A(1)I1​​

利息金额与贴现金额
贴现金额=期末可收回资金金额$\times$贴现率
利息金额=期初投资金额$\times$ 利率
若某人以实际贴现率d借款1,则实际上的本金就为1-d,而利息(贴现)金额为d则有i=d1−di=frac{d}{1-d}i=1−dd​由该式也可推出d=i1+id=frac{i}{1+i}d=1+ii​
另外,$\nu$,i和d还存在着如下如下关系:
$\nu =1-d$
$i-d=id$

名义利率和名义贴现率

"实际"一词主要含义在于:利息为每期支付一次,或在期初,或在期末.往往实际中利息不止支付一次或多期利息才支付一次的情况.

若每期的实际利率为$i$,则i(m)i^{(m)}i(m)与等价的实际利率$i$之间有如下关系式:
1+i=(1+i(m)m)m1+i=(1+frac{i^{(m)}}{m})^m1+i=(1+mi(m)​)m因此,
i=(1+i(m)m)−1i=(1+frac{i^{(m)}}{m})-1i=(1+mi(m)​)−1
i(m)=m[(1+i)1m−1]i^{(m)}=m[(1+i)^{frac{1}{m}}-1]i(m)=m[(1+i)m1​−1]

同样名义贴现率有:
1−d=(1−d(m)m)m1-d=(1-frac{d^{(m)}}{m})^m1−d=(1−md(m)​)m
d=1−(1−d(m)m)md=1-(1-frac{d^{(m)}}{m})^md=1−(1−md(m)​)m
d(m)=m[1−(1−d)1m]=m(1−ν1m)d^{(m)}=m[1-(1-d)^{frac{1}{m}}]=m(1-nu^{frac{1}{m}})d(m)=m[1−(1−d)m1​]=m(1−νm1​)

名义利率与名义贴现率的关系有:
(1+i(m)m)m=1+i=(1−dpp)−p(1+frac{i^{(m)}}{m})^m=1+i=(1-frac{d^{p}}{p})^{-p}(1+mi(m)​)m=1+i=(1−pdp​)−p(对于任意的$m,p$)
若$m=p$,则
1+imm=(1−d(m)m)−1⟹i(m)m−d(m)m=i(m)m⋅d(m)m1+frac{i^{m}}{m}=(1-frac{d^{(m)}}{m})^{-1} Longrightarrow frac{i^{(m)}}{m}-frac{d^{(m)}}{m}=frac{i^{(m)}}{m}cdot frac{d^{(m)}}{m}1+mim​=(1−md(m)​)−1⟹mi(m)​−md(m)​=mi(m)​⋅md(m)​

利息力

• 定义:δt=a′(t)a(t)=A′(t)A(t)delta_t=frac{a^{prime}(t)}{a(t)}=frac{A^{prime}(t)}{A(t)}δt​=a(t)a′(t)​=A(t)A′(t)​
  称δtdelta_tδt​为该投资在$t$时刻的利息力,即δtdelta_tδt​为利息在时刻$t$的一种度量,由δtdelta_tδt​的定义可知,δtdelta_tδt​为$t$时每一单位资金的变化率.

将上是变形,有:
δt=ddtlna(t)=ddtlnA(t)delta_t=mathrm{frac{d}{dt}}lna(t)=mathrm{frac{d}{dt}}lnA(t)δt​=dtd​lna(t)=dtd​lnA(t)
用$r$代替$t$,然后将上式两端在$0$到$t$上积分,得:
∫0tδtdr=∫0tddrlnA(r)dr=lnA(r)∣0t=lnA(t)A(0)⟹int_0^tdelta_tdr=int_0^tfrac{d}{dr}lnA(r)dr=lnA(r)|_0^t=lnfrac{A(t)}{A(0)} Longrightarrow∫0t​δt​dr=∫0t​drd​lnA(r)dr=lnA(r)∣0t​=lnA(0)A(t)​⟹
a(t)=e∫0tδrdra(t)=e^{int_{0}^{t}delta_rdr}a(t)=e∫0t​δr​dr
另外由A(t)δt=A′(t)A(t)delta_t=A^{prime}(t)A(t)δt​=A′(t)
两端在0到n积分得:
∫0nA(t)δtdt=∫0nA′(t)dt=A(t)∣0n=A(n)−A(0)int_0^nA(t)delta_t dt=int_0^nA^{prime}(t)dt=A(t)|^{n}_{0}=A(n)-A(0)∫0n​A(t)δt​dt=∫0n​A′(t)dt=A(t)∣0n​=A(n)−A(0)
上式可解释为:$A(n)-A(0)$为n期内获得的利息.微分表达式A(t)δtdtA(t)delta_t dtA(t)δt​dt可看成资金$A(t)$在t时刻获得的利息,将此表达式在0到n上积分就给出了n个度量期内获得的利息总额.

价值等式

利息理论的基本原则是:任何时刻资金的积累依赖于其所经历的时间.
一般的,要衡量在多个时刻付款的总价值时,总是先选取一个比较日期,然后分别将各次付款累积或折现到比较日期,得到的和就是总价值,即价值等式.
通常,一个简单的利息问题包括四个基本量:
1.最初投资的本金
2.投资时期的长度.
3.利率.
4.本金在投资期末的累积值.
知道其中三个就可以建立价值等式求出第四个.

投资期的确定

年数=投资期天数基础天数年数=frac{投资期天数}{基础天数}年数=基础天数投资期天数​
$利息=金额\ast 利率\ast 年数$

就国际金融领域来说,目前较多的方法有:
1.严格单利法
这种方法严格按照日历计算天数,并将具体年份的日历天数作为一年的天数,即基础天数,这样投资期的时长为实际投资天数除以对应年份的一年实际总天数.这种方法主要在英国使用,故也称英国法.
2.常规单利法.
天数=360(Y2−Y1)+30(M2−M1)+(D2−D1)天数=360(Y_2-Y_1)+30(M_2-M_1)+(D_2-D_1)天数=360(Y2​−Y1​)+30(M2​−M1​)+(D2​−D1​)
其中:Y1Y_1Y1​为第一日期的年份;Y2Y_2Y2​为第二日期年份;M1M_1M1​为第一日期的月份;M2M_2M2​为第二日期的月份;D1D_1D1​为第一日期的日期;D2D_2D2​为第二日期的日期,所以对应的投资年份=天数/360
这种方法在欧洲大陆的许多国家流行,因此常叫做欧洲大陆法,也称作"30/360"法.
3.银行家规则
它用投资期的实际天数以360作为一年,所以记作"实际/360"法,由于360比实际一年的天数要小,算出投资实际往往比其他算法要长,从而投资人更愿意用这种方法,此方法也叫欧洲货币法,也是使用范围最广的一种方法.