若问金庸江湖中哪套剑法最厉害，十有八九都会想到“独孤九剑”。那位俨如神话的剑魔独孤求败，终其一生欲求一败而不得，大抵是所有剑客们心向往之的至高境界。其实在数学江湖中也有一套“独孤九剑”，那便是被誉为“中国数学圣经”的《九章算术》

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关于数学家刘徽的故事

（一）刘徽简介

刘徽，魏晋南北朝时期人物，出生日期大约是在公元225年前后，他卒于295年，是当时世界上最杰出的数学家。他在这方面的著作，对后世数学的发展有着至关重要的影响，同时也奠定了他在数学界不可动摇的地位，也为数学界留下了最为宝贵的文化遗产。他的杰作《九章算术》和《海岛算经》，是中国最宝贵的数学遗产。

（二）个人成就

刘徽思维敏捷又刻苦好学，在数学上有着许多的成就，而这些成就大致可以分为两个方面的内容。

其一是他研究了古代中国的数学理论，从而整理出了一套数学体系，而他这方面的这就从他的数学著作中就可以看出来。他那一套比较完整的数学理论又包括了通分、约分以及各运算法则，同时又从理论方面证明了无理方根的存在；刘徽还给了率一个明确地定义，再通过“率”来定义“方程”；同时他对勾股理论也做出了一定的发展。

其二就是面积与体积理论。他提出了刘徽原理，并将多种面积或体积的问题加以解决。另外，他还在自己的著作中，给出了对幽州率的计算方法，使圆周率又成为“徽率”。

刘徽一直都在数学的海洋中遨游，不断地专研和学习，并提出新的见解和理论，对数学的发展做出了巨大的贡献。鉴于刘徽的巨大贡献，所以不少书上把他称作“中国数学史上的牛顿”。

（三）数学家刘徽的故事

刘徽是魏晋时期有名的数学家，他在数学上有着极大的成就，在数学界中占据着极其重要的位置。他在十分简陋的环境中，冥思苦想，提出了一个又一个令人振奋的理论。接下来，让我们来看一看与刘徽有关的故事吧。

刘徽是中国古代历史上，乃至世界知名的数学家，他通过自己不断地研究，在十分简陋的环境下，提出了“割圆术”，进而得出了更精确地圆周率。这在当时是一个十分伟大的发现，也使中国对圆周率的计算在世界上一直处于领先的地位。

刘徽在他的著作中，提出了割圆术的理论，可以利用它来计算圆周率。《九章算术》中提到“周三径一”，这句话的意思就是说圆周率的近似值为三。但是，刘徽认为这个数字太笼统，不够准确，所以指出这个数字不能作为圆周率。后来，在一次偶然的事件中，刘徽发现圆内接多边形的边数增加得越多，那么多边形的周长就与圆的周长越来越接近，这也就是割圆术的由来了。利用割圆术，刘徽从圆内接正六边形开始切割，然后就是十二边形等一直计算下去，直到计算到九十六边形为止，能够得出的圆周率的近似值是3.14。然而刘徽对此并不满意，他后来又继续深入计算，得出了当时世界上最精确的圆周率为3.1416。

刘徽是一个伟大的数学家，他在数学上的成就对后世数学的发展，形成了十分深远的影响。

（四）刘徽在海岛算经

刘徽是实至名归的世界数学界的泰斗，他利用了各种优秀的理念，使传统数学得到了转变，数学研究也步上了一个新的台阶。他留下的数学著作对数学界来说是珍宝一般的存在，《海岛算经》就是其中的一部。

263年，刘徽著作了《九章算术注》，而《海岛算经》就是其中的第十卷。直到唐朝时，《海岛算经》才开始单独作为一部著作出现。这部书是中国最早的一部测量学著作，测量的都是与高和距离的问题。因此，有人说它是三角法的起源，但这其中并未涉及相关的理论和知识点。这部书一共有九个关于测量计算高远深广的问题，且都是采用表尺从不同的位置测望，然后取得这些测望值的差距，通过这些差距再来计算山高等距离问题。而在这些计算中，所运用的方法是筹算。因为这些问题中的第一个问题与海盗有关，所以这部书被取名为《海岛算经》。

这部书，在唐初时单独成册，后来又被收录进了一部百科全书式的文献集中。幸运的是，经历了千年的颠簸，这部书没有消逝在时间的长河里，如今被妥善的保管着。遗憾的是，虽然这部书没有失传，但是却没能留存于国内，而是被保存于英国剑桥大学图书馆。

有人曾指出，《海岛算经》让中国的测量学达到了巅峰，其测量术比欧洲早了整整一千四百年左右，可见古代中国测量学的先进。

（五）九章算术

《九章算术》作者不详，师承不明，无门无派，身世神秘，仿佛天外飞仙般突然降临江湖，一出现便惊艳了众生，引得历代名家尽折腰，甘愿殚精竭虑，纷纷为之作注，九章之学，遂成大宗。

剑有剑招，算有算题，“独孤九剑”须得从一招一招练起，《九章算术》也得从一题一题做起。整部《九章算术》说到底就是一本算题集，共列举了二百四十六道算题，每题皆有问有答有解。这又好比二人对剑，一人出招，一人接招，至于如何见招拆招，则全赖“九术”之妙用。

看来欲有所进境，是非动手不可了。不妨就从每章各抽一题，以期略尽管窥之责。

例一箕田求积

今有箕田，舌广二十步，踵广五步，正从三十步，问为田几何？（方田章）

这正是方田术最擅长的面积计算问题，由于常跟“田”打交道，故而“田”也就自然成为了各类图形的代称，诸如：“方田”指矩形，“圭田”指等腰三角形，“邪田”指直角梯形，“箕田”指等腰梯形，“圆田”指圆形，“宛田”指球冠形，“弧田”指弓形，“环田”指环形等等。不同的“田”有不同的面积计算公式，遂又衍生出种种专语，诸如：“广”为长，“从”为宽，“正从”为高，“舌”为上底，“踵”为下底，“周”为周长，“径”为直径等等。通晓了这些行话般的代称专语，修炼起方田术来，才能事半而功倍。

箕田术示意图

本题所求为箕田面积，“箕田术曰：并踵舌而半之，以乘正从”，翻译过来即：

等腰梯形面积＝1/2×（上底＋下底）×高

这个公式是不是很亲切？遥想幼学当年，稚气犹未了，强记硬背，百遍后，倒也滚瓜烂熟。在此直接套用即可：

箕田面积＝1/2×（20＋5）×30＝375步

汉制二百四十步为一亩，故答曰：“一亩一百三十五步。”

例二以粟换米

今有粟一斗，欲为粝米，问得几何？（粟米章）

国以农为本，民以食为天，粮食在古代不但是赋税的大宗，交易时更堪比金银等硬通货，因此粮食的兑换和折算问题，一直是朝廷和官府的头等大事。〈粟米章〉开篇就明示“粟米之法”，列出了二十种谷物及米饭的换算比率，相当于一份汉代的粮食换算表，即以本题而言，粟率五十，粝米率三十。

粟是中国北方主要的粮食作物，俗称“谷子”，去壳后俗称“小米”，粝米就是糙米。本题的意思是，根据“粟米之法”所列的比率，问一斗谷子能换多少糙米？

那么，具体该如何换算呢？这就要借助“今有术”。所谓“今有术”，其实就是四项比例算法，因每问开头常冠以“今有”二字，故得此诨号。其修炼口诀曰：“以所有数乘所求率为实，以所有率为法，实如法而一。”以公式表示即是：

所求数＝所有数×所求率／所有率

本题是以粟来兑换粝米，粟数为所有数，粝米数为所求数，粟率为所有率，粝米率为所求率。依今有术之法：

粝米数＝粟数×粝米率／粟率＝1斗×30／50＝0.6斗

汉制十升为一斗，故答曰：“为粝米六升。”

例三五爵分鹿

今有大夫、不更、簪袅、上造、公士，凡五人，共猎得五鹿。欲以爵次分之，问各得几何？（衰分章）

古代以爵级为赐，大夫、不更、簪袅、上造、公士都是战国之初已有的官爵名称，爵数各有等差，依次为大夫五，不更四，簪袅三，上造二，公士一。本题要求将猎得的五只鹿，按爵级予以赏赐，分配比例即为爵数，问五爵各得多少？

今有术解决的虽是按比例交换问题，但同样可以适用于此处的按比例分配问题，由此便形成了衰分术。衰（cuī）即差别之意，衰分即按差别来分配。本题所给出的算法是：“列置爵数，各自为衰，副并为法。以五鹿乘未并者各自为实，实如法得一鹿。”

所谓“列置爵数，各自为衰，副并为法”，就是把分配比例依次列出，以各率相加之和作为除数：

5：4：3：2：1

5＋4＋3＋2＋1＝15

所谓“五鹿乘未并者各自为实，实如法得一鹿”，就是用五鹿之数乘以五爵各自在分配总率中所占的比例，即可求得各自应得鹿数：

大夫应得鹿数＝5鹿×5／15＝1又2／3鹿

不更应得鹿数＝5鹿×4／15＝1又1／3鹿

簪袅应得鹿数＝5鹿×3／15＝1鹿

上造应得鹿数＝5鹿×2／15＝2／3鹿

公士应得鹿数＝5鹿×1／15＝1／3鹿

故答曰：“大夫得一鹿三分鹿之二，不更得一鹿三分鹿之一，簪袅得一鹿，上造得三分鹿之二，公士得三分鹿之一。”

本题中还涉及到了分数运算法则，这在〈方田章〉中有更为详尽的论述，包括约分（分数化简法）、合分（分数加法）、减分（分数减法）、乘分（分数乘法）、经分（分数除法）、课分（分数比较大小）、平分（分数求平均值）及大广田（带分数乘法）——千万别被它们古奥的名字唬住，其实都不过是最基本的分数加减乘除四则运算罢了，当代的初中生人人皆会。

例四积步开方

今有积五万五千二百二十五步，问为方几何？（少广章）

少广术是已知面积或体积，而反求边长，相当于方田术和商功术的逆向运算，这就必然会涉及到开平方和开立方的问题。《九章算术》的开方术极为精彩，采用数形结合的方法，根据几何上“出入相补”的原理，“析理以词，解体用图”，显示了中国传统数学的特色，开创了后来开更高次方和求高次方程数值解之先河。特别令人惊异之处，是指出了存在有开不尽的情形，“若开之不尽者，为不可工”，并给这种不尽根数起了一个专门的名字——“面”。

本题是一道简单的开平方题，欲求55225的平方根。《九章算术》用的是古老的算筹，先摆出开方数式，再通过移动算筹而借位，比之普通的加减乘除四则运算要复杂得多。本题答曰：“二百三十五步。”

例五阳马求积

今有阳马，广五尺，袤七尺，高八尺。问积几何？（商功章）

阳马不是马，而一种特殊的锥体，本题所要求的就是这种锥体的体积，这正是商功术的看家本领。在动手计算之前，先得介绍一下立体图形家族的诸位成员。

最熟悉的当然是长方体，在家族中排行最大，辈份最高，许多锥体和柱体都是由它演变而来的。

将长方体沿对角面斜分为二，得到两个一模一样的三角棱锥，称为“堑堵”，其体积是长方体的一半。

堑堵

再沿堑堵某一顶点与相对的棱剖开，得四角棱锥和三角棱锥各一个。四角棱锥以矩形为底，另有一棱与底面垂直，称为“阳马”；余下的三角棱锥是由四个直角三角形组成的四面体，称为“鳖臑”（biē nào）。

合两鳖臑而成一阳马，合三阳马而成一立方。故本题解法是：“广袤相乘，以高乘之，三而一。”也就是以阳马矩形底面的长乘以宽，再乘以阳马的高，得出未剖分前长方体的体积，除以三即为阳马的体积。答曰：“九十三尺少半尺。”

商功术天天应对的都是建房、造屋、筑城、修堤、挖沟、开渠等土木水利工程问题，所遇到的怪咖自然不止以上几位，还有“刍童”、“刍甍”、“曲池”、“盘池”、“冥谷”等等。“刍童”指的是上下底皆为矩形的拟柱体，刍甍指的是上底为一棱、下底为一矩形的拟柱体，至于“曲池”、“盘池”、“冥谷”则都是长方台体，计算方法大同小异。

例六四县均输

今有均输粟，甲县一万户，行道八日；乙县九千五百户，行道十日；丙县一万二千三百五十户，行道十三日；丁县一万二千二百户，行道二十日，各到输所。凡四县赋，当输二十五万斛，用车一万乘。欲以道里远近、户数多少，衰出之，问粟、车各几何？（均输章）

所谓“均输”，就是平均分配运输负担。本题中县户有多少之差，行道有远近之异，欲其均等，故各令行道日数约户为衰分，行道多者少其户，行道少者多其户。

甲县衰分＝10000户／8日＝125

乙县衰分＝9500户／10日＝95

丙县衰分＝12350户／13日＝95

丁县衰分＝12200户／20日＝61

已知衰分，就可以运用前已熟悉的衰分术，很容易地计算出各县当输的粟数和当用的车数了，答曰：“甲县粟八万三千一百斛，车三千三百二十四乘。乙县粟六万三千一百七十五斛，车二千五百二十七乘。丙县粟六万三千一百七十五斛，车二千五百二十七乘。丁县粟四万五百五十斛，车一千六百二十二乘。”

这只是均输术最正经的应用，事实上，它还可以解决一些不大重要却很有趣的小问题，例如数学史上著名的“凫雁相逢”问题：

今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海。今凫雁俱起，问何日相逢？（均输章）

凫即野鸭，雁即大雁，野鸭从南海飞到北海需要七天，大雁从北海飞到南海需要九天。野鸭和大雁同时分别从南海和北海出发，问多少天可以相遇？

凫雁相逢

本题虽然简单，却包含了均输术中的时日、路程、速度等几乎所有的元素，是典型性非典型题，反映了中国古代在处理与比例分配相关的分数运算时的基本思维——“齐同”，化异分母为同分母叫“同其母”，要保持分数值不变，还必须“齐其子”，母同子齐以后才可以进行加减运算。所以，“凫雁相逢”的解法是：“并日数为法，日数相乘为实，实如法得一日。”也就是说，以各自需要的天数之和为除数，以各自需要的天数之积为被除数，这样就得到日数。答曰：“三日十六分日之十五。”

例七人共买物

今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四。问人数、物价各几何？（盈不足章）

题目意思是几人合买一物，每人出钱八块，则多三块，是为盈余；每人出钱七块，则少四块，是为不足。问人数和物价各是多少？

这是典型的盈不足问题，自然必须用盈不足术。盈不足术跟衰分术一样，也是由今有术衍生而来。由于往往要面对盈和亏两种情形，需要通过两次假设来求得结果，所以在欧洲又被称为“双假位法”，亦译作“迭借互征”。盈不足术能处理各种隐而不见、杂乱无章的数量关系问题，因此又被誉为“万能算法”，称霸数坛。

《九章算术》所给出的盈不足术公式相当繁复啰嗦，反而刘徽的注更为简捷，在此无暇赘述，还是直奔主题为上。

首先计算人数。每人两次出钱，相差为8－7＝1，这是所谓“一人之差”。而“盈不足为众人之差”，也就是说由于每人两次出钱都差一点，导致了最后有3个“众人之差”，大家相差的就是盈余的3块钱和不足的4块钱之和，“众人之差”是7块钱。“以一人之差约众人之差，故得人数也”，以7除以1，即得知人数是7人。

再来计算物价。每人出钱8块，买1物，多钱3块；若买4物，则需出钱8×4＝32块，多3×4＝12块。每人出钱7块，买1物，少钱4块；若买3物，则需出钱7×3＝21块，少4×3＝12块。两次盈亏等同，可以互相抵消。两次出钱之和＝8×4＋7×3＝53块，共计买得4＋3＝7物。前已算得人数是7人，可知物价是53块钱。故答曰：“七人，物价五十三。”

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来源 | 校苑数模